0의 0제곱

0의 0제곱 즉, $0^0$은 일반적으로 정의되지 않는 값이다.

복소수 $z$에 대하여

로 정의하는데, $0/0$은 그 값을 하나로 정할 수 없기 때문이다.[1]

우리가 고려하는 값 $0^0$은 다음처럼 극한으로 생각해볼 수 있다.

이 때,

이고, $x\equiv t^{-1}$로 잡으면 $x\to0^+$, $t\to\infty$가 되므로

이다. 이 때, 지수의 극한값은 로피탈의 정리에 의해

이 됨에 따라

이 된다. 그러나 불행히도 좌극한은 정의되지 않기 때문에 $0^0$은 정의되지 않는다.

그렇다면, 이변수함수 $f(x,\,y)=y^x$은 어떨까? 우리가 고려하는 값을 다음과 같이 생각해볼 수 있다.

$y=0$이라는 조건에서 이 극한을 생각하면

이 되고, 반대로 $x=0$이라는 조건을 따라서 생각하면

이 된다. 즉, 극한이 진행하는 방향에 따라 그 극한값이 달라지기 때문에 $\displaystyle \lim_{(x,\,y)\to(0,\,0)} f(x,\,y)$는 정의되지 않으므로 $0^0$의 값은 정할 수 없다.

우선 다음을 정의하자.

이를 테트레이션(tetration)이라고 한다. 덧셈, 곱셈, 지수에 이은 4차 연산이라는 의미이다.

그리고 이 연산에서 $n$을 무한대로 보내면 다음과 같이 된다.

여기서 $\ln$은 자연로그, $W$는 람베르트 $W$ 함수이다.

이제 $a$에 $0$을 대입해 보자. 여기서 $\displaystyle \lim_{x\to0^+} (-\ln x) = \infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x) = \infty$이므로 결국 위 극한은 $\dfrac{\infty}{\infty}$의 부정형이 된다.

여기서 부정형의 극한값을 구하기 위해 로피탈의 정리를 적용하면, 최종적으로 무한 번의 $0$제곱은 $0$에 수렴한다는 사실을 얻을 수 있다.

엄밀하게는 정의되지는 않지만, 편의상 $0^0=1$로 놓는 경우가 많으며, $0^{-n}=\infty \,(n \in \mathbb{N})$로 는 경우도 많다.

엄밀한 증명이 필요치 않은 경우, 그 값을 1로 둬도 문제되지 않으며, 계산의 편의성이 증가한다. 아래에서는 그 값을 1로 두는 3가지 흔한 경우를 소개하며, 여기에서 더 많은 예시를 볼 수 있다.

다항식 $f(x)$를

의 형태로 표현하고자 할 때, $x$의 값에 관계없이 $x^0=1$이라 놓으면 편리하다. 그렇기 때문에 다항식을 다룰 때 $0^0=1$이라 정의하는 경우가 많다.

두 집합 $X$, $Y$에 대하여 각 집합의 원소의 개수를 각각 $x$, $y$라 하자. 그런데 만약 두 집합이 모두 공집합이라면, $X \to Y$인 함수는 순서 모음 $(\varnothing,\,\varnothing,\,\varnothing)$으로 단 하나 존재한다. 이런 관점에서 $0^0=1$이라 정의할 수 있다.

그렇기 때문에, 초한기수 문서에도 기재돼 있지만, 기수의 지수 연산에서는 $0^0=1$로 정의된다.

마찬가지로, 0개에서 0개를 중복을 허락해서 뽑는 경우의 수는 사실상 '그냥 안 뽑는 것' 딱 한 가지이다. 따라서 조합론의 관점에서는 명백히 $0^0=1$로 생각할 수 있다.

뮌하우젠 수에서는 $0^0=0$으로 정의한다. 해당 문서 참고.